Често срещан проблем в класа по геометрия е да изчислите площта на окръжност въз основа на предоставената информация. Трябва да знаете формулата за намиране на площта на кръг, A = πr2 { displaystyle A = \ pi r^{2}}
. The formula is simple and only needs the radius of the circle to find its area. However, you also need to practice converting some other bits of provided data into terms that can help you use this formula.
Steps
Method 1 of 4: Using Radius to Find Area
Стъпка 1. Определете радиуса на окръжност
Радиусът е дължината от центъра на окръжност до ръба на окръжността. Можете да измерите това във всяка посока и радиусът ще бъде същият. Радиусът също е половината от диаметъра на окръжност. Диаметърът е сегментът на линията, който минава през центъра и свързва противоположните страни на окръжността.
- Радиусът обикновено ще ви бъде предоставен. Измерването до точния център на кръг може да бъде трудно, освен ако центърът вече не е маркиран за вас върху окръжност, нарисувана на хартия.
- За този пример приемете, че ви е казано, че радиусът на дадена окръжност е 6 cm.
Стъпка 2. Квадратирайте радиуса
Формулата за намиране на площта на кръг е A = πr2 { displaystyle A = \ pi r^{2}}
, where the r{displaystyle r}
variable represents the radius. This variable is squared.
- Do not get confused and square the entire equation.
-
For the sample circle with radius, r=6{displaystyle r=6}
, then r2=36{displaystyle r^{2}=36}
Стъпка 3. Умножете по pi
Пи, написано символично с гръцката буква π { displaystyle \ pi}
, is a mathematical constant that represents the ratio between the circumference and the diameter of the circle. As a decimal approximation, π{displaystyle \pi }
is approximately 3.14. The true decimal value continues on infinitely. For an exact statement of the area of a circle, you will usually report your answer using the symbol π{displaystyle \pi }
itself.
-
For the given example with a radius of 6 cm, the area is calculated as:
-
A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}
-
A=π62{displaystyle A=\pi 6^{2}}
-
A=36π{displaystyle A=36\pi }
or A=36(3.14)=113.04{displaystyle A=36(3.14)=113.04}
-
Стъпка 4. Отчетете резултата си
Не забравяйте, че изчисление на площ ще бъде отчетено в „квадратни“единици. Ако радиусът е измерен в сантиметри, площта ще бъде в квадратни сантиметри. Ако радиусът е измерен в футове, площта ще бъде в квадратни фута. Трябва също да знаете дали да докладвате резултата си, като използвате символа π { displaystyle \ pi}
or the numerical approximation. If you do not know, then report both.
-
For the sample circle with a radius of 6 cm, the area will be either 36π{displaystyle \pi }
cm2 or 113.04 cm2.
Method 2 of 4: Calculating Area from the Diameter
Стъпка 1. Измерете или запишете диаметъра
Някои проблеми или ситуации няма да ви дадат радиуса. Вместо това може да получите диаметър на кръг. Ако диаметърът е начертан във вашата диаграма, можете да го измерите с линийка. Като алтернатива може просто да ви бъде казана стойността на диаметъра.
Да предположим за този пример, че диаметърът на кръга ви е 20 инча
Стъпка 2. Разделете диаметъра наполовина
Не забравяйте, че диаметърът е равен на двойния радиус. Следователно, каквато и стойност да дадете за диаметъра, разрежете го наполовина и ще имате радиуса.
Следователно кръгът на пробата с диаметър 20 инча ще има радиус 20/2 или 10 инча
Стъпка 3. Използвайте оригиналната формула за площ
След като преобразувате диаметъра в радиуса, сте готови да използвате формулата A = πr2 { displaystyle A = \ pi r^{2}}
to calculate the area of the circle. Insert the value for the radius and perform the remaining calculations as follows:
-
A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}
-
A=π102{displaystyle A=\pi 10^{2}}
-
A=100π{displaystyle A=100\pi }
Стъпка 4. Отчетете стойността на площта
Припомнете си, че вашата площ трябва да се отчита в квадратни единици. В този пример диаметърът се измерва в инчове, така че радиусът е в инчове. Следователно площта ще бъде отчетена в квадратни инчове. За тази извадка областта ще бъде 100π { displaystyle 100 \ pi}
sq. in.
-
You can also provide the numerical approximation by multiplying by 3.14 instead of π{displaystyle \pi }
. This will give a result of (100)(3.14) = 314 sq. in.
EXPERT TIP
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco
The most common error when using diameter is forgetting to square the denominator
If you don't divide the diameter by 2 to find the radius, you can still find the area of the circle. However, you need to change the formula so that you square the 'd' otherwise your answer will be wrong.
Method 3 of 4: Using Circumference to Calculate Area
Стъпка 1. Научете преработената формула
Ако знаете обиколката на окръжност, можете да използвате преразглеждане на формулата за площта на окръжност. Тази преработена формула използва обиколка директно, без радиуса, за да намери площ. Тази нова формула е:
-
A = C24π { displaystyle A = { frac {C^{2}} {4 \ pi}}}
Стъпка 2. Измерете или запишете обиколката
В някои ситуации в реалния свят може да не успеете да измерите диаметъра или радиуса точно. Ако диаметърът не е изчертан за вас или центърът не е идентифициран, може да е трудно да се приближи центъра на окръжност. За някои физически кръгове - тиган за пица или тиган например - може да използвате рулетка и да измерите обиколката по -точно, отколкото можете да измерите диаметъра.
За този пример приемете, че са ви казали или сте измерили, че обиколката на окръжност (или кръгъл обект) е 42 cm
Стъпка 3. Използвайте връзката между обиколката и радиуса, за да преразгледате формулата
Обиколката на окръжност е равна на пи пъти диаметъра. Това може да бъде записано като C = πd { displaystyle C = \ pi d}
. Then, recall that the diameter is equal to twice the radius, or d=2r{displaystyle d=2r}
. You can combine these two equalities to create the following relationship: C=π2r{displaystyle C=\pi 2r}
. Rearrange this to isolate the variable r{displaystyle r}
by itself, as follows:
-
C=π2r{displaystyle C=\pi 2r}
-
C2π=r{displaystyle {frac {C}{2\pi }}=r}
….. (divide both sides by 2π{displaystyle \pi }
)
Стъпка 4. Заменете във формулата площта на окръжност
Можете да създадете модифицирана версия на формулата за площта на окръжност, като използвате тази връзка между обиколката и радиуса. Заменете това последно равенство в оригиналната формула за площ, както следва:
-
A = πr2 { displaystyle A = \ pi r^{2}}
…..(original area formula)
-
A=π(C2π)2{displaystyle A=\pi ({frac {C}{2\pi }})^{2}}
….. (substitute equality for r)
-
A=π(C24π2){displaystyle A=\pi ({frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})}
…..(square the fraction)
-
A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}
…..(cancel π{displaystyle \pi }
in numerator and denominator)
Стъпка 5. Използвайте преработената формула, за да решите областта
Използвайки тази преработена формула, написана с обиколка вместо радиус, можете да използвате дадената информация и да намерите директно областта. Вмъкнете стойността на обиколката и извършете изчисленията, както следва:
-
За тази извадка сте получили C = 42 { displaystyle C = 42}
inches.
-
A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}
-
A=4224π{displaystyle A={frac {42^{2}}{4\pi }}}
…..(insert value)
-
A=17644π{displaystyle A={frac {1764}{4\pi }}}
.….(calculate 422)
-
A=441π{displaystyle A={frac {441}{pi }}}
…..(divide by 4)
Стъпка 6. Отчетете резултата си
Освен ако обиколката не ви е кратна на π { displaystyle \ pi}
, then your result is likely to be a fraction with π{displaystyle \pi }
in the denominator. There is nothing wrong with this. You should report your area calculation in that term, or you may approximate it by dividing by 3.14.
-
For this sample circle, with a circumference given as 42 cm, the area is 441π{displaystyle {frac {441}{pi }}}
sq. cm.
-
If you approximate, 441π=4413.14=140.4{displaystyle {frac {441}{pi }}={frac {441}{3.14}}=140.4}
. The area is approximately equal to 140 sq. cm.
Method 4 of 4: Finding Area from a Sector of the Circle
Стъпка 1. Определете известната или дадената информация
При някои проблеми може да получите информация за сектор от кръга и след това да бъдете помолени да намерите областта на пълния кръг. Прочетете внимателно проблема и потърсете информация, която ще каже нещо от рода на: „Сектор от кръг О има площ от 15π { displaystyle \ pi}
cm2. Find the area of Circle O.”
Стъпка 2. Определете избрания сектор
Сектор от кръг е част, която понякога се нарича още „клин“. Сектор се дефинира чрез изтегляне на два радиуса от центъра към ръба на окръжността. Пространството между тези два радиуса е секторът.
Стъпка 3. Измерете централния ъгъл на сектора
Използвайте транспортир, за да измерите централния ъгъл, направен от двата радиуса. Поставете основата на транспортира по един от радиусите, като централната точка на транспортира е подравнена с центъра на окръжността. След това прочетете измерването на ъгъла, което съответства на позицията на втория радиус, образуващ сектора.
- Уверете се, че знаете дали измервате малкия ъгъл между двата радиуса или по -големия ъгъл извън тях. Проблемът, върху който работите, трябва да определи това за вас. Сумата от малкия ъгъл и големия ъгъл ще бъде 360 градуса.
- При някои проблеми, вместо да измервате централния ъгъл, проблемът може просто да ви каже измерването. Например, може да ви се каже: „Централният ъгъл на сектора е 45 градуса“или може да се очаква да го измерите.
Стъпка 4. Използвайте модифицирана формула за площ
Когато знаете площта на сектор и измерването на неговия централен ъгъл, можете да използвате следната модифицирана формула, за да намерите площта на кръга:
-
Acir = Asec360C { displaystyle A_ {cir} = A_ {sec} { frac {360} {C}}}
-
Acir{displaystyle A_{cir}}
is the area of the full circle
-
Asec{displaystyle A_{sec}}
is the area of the sector
-
C{displaystyle C}
is the central angle measure
-
Стъпка 5. Въведете стойностите, които знаете, и решете областта
В този пример ви е казано, че централният ъгъл е 45 градуса и че секторът има площ от 15π { displaystyle \ pi}
. Insert these into this formula and solve as follows:
-
Acir=Asec360C{displaystyle A_{cir}=A_{sec}{frac {360}{C}}}
-
Acir=15π36045{displaystyle A_{cir}=15\pi {frac {360}{45}}}
-
Acir=15π(8){displaystyle A_{cir}=15\pi (8)}
-
Acir=120π{displaystyle A_{cir}=120\pi }
Стъпка 6. Докладвайте резултата
За този пример секторът беше една осма от пълния кръг. Следователно площта на пълния кръг е 120π { displaystyle \ pi}
cm2. Since the sector's area was given in terms of π{displaystyle \pi }