Как да изчислите квадратния корен на ръка (със снимки)

2023 Автор: Virginia Parson | [email protected]. Последно модифициран: 2023-05-24 11:36

В дните преди калкулаторите учениците и преподавателите трябваше да изчисляват квадратни корени на ръка. Разработени са няколко различни метода за справяне с този обезсърчителен процес, някои дават приблизителна приблизителност, други дават точна стойност. За да научите как да намерите квадратен корен от число, използвайки само прости операции, моля, вижте стъпка 1 по -долу, за да започнете.

Стъпки

Метод 1 от 2: Използване на първична факторизация

Стъпка 1. Разделете номера си на перфектни квадратни фактори

Този метод използва факторите на числото, за да намери квадратен корен от число (в зависимост от броя, това може да бъде точен числов отговор или близка оценка). Факторите на числото са всеки набор от други числа, които се умножават заедно, за да го направят. Например, можете да кажете, че факторите 8 са 2 и 4, защото 2 × 4 = 8. Перфектните квадрати, от друга страна, са цели числа, които са произведение на други цели числа. Например, 25, 36 и 49 са перфектни квадрати, защото са 5², 6², и 7², съответно. Перфектните квадратни фактори са, както може би се досещате, фактори, които също са перфектни квадрати. За да започнете да намирате квадратен корен чрез първостепенна факторизация, първо се опитайте да намалите броя си до неговите перфектни квадратни множители.

• Нека използваме пример. Искаме да намерим квадратния корен от 400 на ръка. За начало бихме разделили числото на перфектни квадратни фактори. Тъй като 400 е кратно на 100, ние знаем, че е равномерно делим на 25 - перфектен квадрат. Бързото умствено разделение ни дава да разберем, че 25 влиза в 400 16 пъти. 16, случайно, също е перфектен квадрат. По този начин перфектните квадратни фактори от 400 са 25 и 16 защото 25 × 16 = 400.
• Бихме написали това като: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Стъпка 2. Вземете квадратните корени на вашите перфектни квадратни фактори

Свойството на продукта на квадратни корени гласи, че за всяко дадено число a и b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Поради това свойство, сега можем да вземем квадратните корени на нашите перфектни квадратни множители и да ги умножим заедно, за да получим отговора си.

• В нашия пример бихме взели квадратните корени от 25 и 16. Вижте по -долу:

  • Sqrt (25 × 16)
  • Sqrt (25) × Sqrt (16)

  • 5 × 4 =

    Стъпка 20.

Стъпка 3. Намалете отговора си до най -простите термини, ако вашият номер не се отчита перфектно

В реалния живот по -често числата, за които трябва да намерите квадратни корени, няма да са хубави кръгли числа с очевидни перфектни квадратни фактори като 400. В тези случаи може да не е възможно да намерите точния отговор като цяло число. Вместо това, като намерите каквито и да е перфектни квадратни фактори, можете да намерите отговора по отношение на по-малък, по-прост и лесен за управление квадратен корен. За да направите това, намалете броя си до комбинация от перфектни квадратни фактори и несъвършени квадратни фактори, след което опростете.

• Нека използваме квадратния корен от 147 като пример. 147 не е продукт на два перфектни квадрата, така че не можем да получим точна цяло число, както по -горе. Това обаче е продукт на един перфектен квадрат и друго число - 49 и 3. Можем да използваме тази информация, за да напишем отговора си с най -прости думи, както следва:

  • Квадрат (147)
  • = Sqrt (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × квадрат (3)

Стъпка 4. Оценете, ако е необходимо

С вашия квадратен корен в най -прости термини, обикновено е доста лесно да получите груба оценка на числов отговор, като отгатнете стойността на всички останали квадратни корени и умножите. Един от начините за ориентиране на вашите оценки е да намерите перфектните квадрати от двете страни на числото във вашия квадратен корен. Ще знаете, че десетичната стойност на числото във вашия квадратен корен е някъде между тези две числа, така че ще можете да отгатнете между тях.

• Нека се върнем към нашия пример. От 2² = 4 и 1² = 1, знаем, че Sqrt (3) е между 1 и 2 - вероятно по -близо до 2, отколкото до 1. Ще оценим 1.7. 7 × 1,7 = 11.9 Ако проверим работата си в калкулатор, можем да видим, че сме доста близо до действителния отговор на 12.13.

  • Това работи и за по -големи числа. Например, Sqrt (35) може да бъде оценен между 5 и 6 (вероятно много близо до 6). 5² = 25 и 6² = 36. 35 е между 25 и 36, така че неговият квадратен корен трябва да бъде между 5 и 6. Тъй като 35 е само на едно разстояние от 36, можем да кажем с увереност, че квадратният му корен е просто по -нисък от 6. Проверката с калкулатор дава ни отговор от около 5,92 - бяхме прави.

Стъпка 5. Намалете номера си до най -ниските общи фактори като първа стъпка

Намирането на перфектни квадратни множители не е необходимо, ако можете лесно да определите основните фактори на числото (фактори, които също са прости числа). Напишете номера си от гледна точка на най -ниските му общи фактори. След това потърсете съвпадащи двойки прости числа сред вашите фактори. Когато намерите два основни фактора, които съвпадат, премахнете и двете числа от квадратния корен и поставете едно от тези числа извън квадратния корен.

• Като пример, нека намерим квадратния корен от 45, използвайки този метод. Знаем, че 45 = 9 × 5 и знаем, че 9 = 3 × 3. По този начин можем да напишем нашия квадратен корен от гледна точка на неговите фактори като този: Sqrt (3 × 3 × 5). Просто премахнете 3 -те и поставете една 3 извън квадратния корен, за да получите квадратен корен в най -прости думи: (3) Квадрат (5).

  Оттук е лесно да се прецени.

• Като последен примерен проблем, нека се опитаме да намерим квадратния корен от 88:

  • Квадрат (88)
  • = Sqrt (2 × 44)
  • = Sqrt (2 × 4 × 11)
  • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Имаме няколко 2 в нашия квадратен корен. Тъй като 2 е просто число, можем да премахнем двойка и да поставим една извън квадратния корен.

  • = Нашият квадратен корен в най -прости термини е (2) Sqrt (2 × 11) или (2) Квадрат (2) Квадрат (11).

    От тук можем да оценим Sqrt (2) и Sqrt (11) и да намерим приблизителен отговор, ако желаем.

Метод 2 от 2: Ръчно намиране на квадратни корени

Използване на дълъг алгоритъм за разделяне

Стъпка 1. Разделете цифрите на номера си на двойки

Този метод използва процес, подобен на дългото деление, за да намери точен квадратен корен цифра по цифра. Въпреки че не е от съществено значение, може да откриете, че е най -лесно да извършите този процес, ако визуално организирате работното си пространство и номера си на работещи парчета. Първо нарисувайте вертикална линия, разделяща работната ви зона на две секции, след това нарисувайте по -къса хоризонтална линия близо до горната част на дясната секция, за да разделите дясната секция на малка горна част и по -голяма долна част. След това разделете цифрите на номера си на двойки, започвайки от десетичната запетая. Например, следвайки това правило, 79, 520, 789, 182.47897 става „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Напишете номера си в горната част на лявото поле.

Като пример, нека се опитаме да изчислим квадратния корен от 780.14. Начертайте два реда, за да разделите работното си пространство по -горе и напишете „7 80. 14“в горната част на лявото пространство. ОК е. че най -лявата част е самотно число, а не чифт числа. Ще напишете отговора си (квадратен корен от 780.14.) В горния десен интервал

Стъпка 2. Намерете най -голямото цяло число n, чийто квадрат е по -малък или равен на най -лявото число (или двойка)

Започнете с най -лявата "част" на вашия номер, независимо дали това е чифт или единично число. Намерете най -големия перфектен квадрат, който е по -малък или равен на това парче, след това вземете квадратния корен от този перфектен квадрат. Това число е n. Напишете n в горното дясно пространство и запишете квадрата от n в долния десен квадрант.

• В нашия пример най -лявото "парче" е числото 7. Тъй като знаем, че 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, можем да кажем, че n = 2, защото това е най -голямото цяло число, чийто квадрат е по -малък или равен на 7. Напишете 2 в горния десен квадрант. Това е първата цифра от нашия отговор. Напишете 4 (квадратът на 2) в долния десен квадрант. Това число ще бъде важно в следващата стъпка.

Стъпка 3. Извадете току -що изчисленото число от най -лявата двойка

Както при дългото разделяне, следващата стъпка е да извадим току -що намерения квадрат от парчето, което току -що анализирахме. Напишете това число под първото парче и извадете, като отгоре напишете отговора си.

• В нашия пример бихме написали 4 под 7, след което изваждаме. Това ни дава отговор на

  Стъпка 3..

Стъпка 4. Отпуснете следващата двойка

Преместете следващото „парче“в числото, чийто квадратен корен решавате, до извадената стойност, която току -що открихте. След това умножете числото в горния десен квадрант с две и го запишете в долния десен квадрант. До числото, което току -що записахте, отделете място за задача за умножение, която ще направите в следващата стъпка, като напишете "" _ × _ = "'.

• В нашия пример следващата двойка в нашия номер е "80". Напишете "80" до 3 в левия квадрант. След това умножете числото горе вдясно с две. Това число е 2, така че 2 × 2 = 4. Напишете "'4"' в долния десен квадрант, последвано от _×_=.

Стъпка 5. Попълнете празните полета в десния квадрант

Трябва да попълните всяко празно пространство, което току -що сте написали в десния квадрант със същото цяло число. Това цяло число трябва да бъде най -голямото цяло число, което позволява резултатът от проблема с умножението в десния квадрант да бъде по -малък или равен на текущото число вляво.

В нашия пример запълването на празните пространства с 8 ни дава 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Това е по -голямо от 380. Следователно 8 е твърде голямо, но 7 вероятно ще работи. Напишете 7 в празните полета и решете: 4 (7) × 7 = 329. 7 се отказва, защото 329 е по -малко от 380. Напишете 7 в горния десен квадрант. Това е втората цифра в квадратния корен от 780.14

Стъпка 6. Извадете току -що изчисленото от текущото число вляво

Продължете с веригата за изваждане на стила с дълго деление. Вземете резултата от задачата за умножение в десния квадрант и го извадете от текущото число вляво, като напишете отговора си по -долу.

• В нашия пример бихме извадили 329 от 380, което ни дава 51.

Стъпка 7. Повторете стъпка 4

Пуснете следващата част от числото, от което намирате квадратния корен надолу. Когато достигнете десетичната точка във вашия номер, напишете десетична запетая във вашия отговор в горния десен квадрант. След това умножете числото в горния десен ъгъл с 2 и го запишете до празния проблем за умножение ("_ × _"), както по -горе.

В нашия пример, тъй като сега срещаме десетичната запетая в 780.14, напишете десетична запетая след нашия текущ отговор горе вдясно. След това пуснете следващата двойка (14) надолу в левия квадрант. Два пъти числото горе вдясно (27) е 54, така че напишете „54 _ × _ =“в долния десен квадрант

Стъпка 8. Повторете стъпки 5 и 6

Намерете най -голямата цифра, която да попълните вдясно, която дава отговор, по -малък или равен на текущото число вляво. След това решете проблема.

В нашия пример 549 × 9 = 4941, което е по -ниско или равно на числото вляво (5114). 549 × 10 = 5490, което е твърде високо, така че 9 е нашият отговор. Напишете 9 като следващата цифра в горния десен квадрант и извадете резултата от умножението от числото вляво: 5114 минус 4941 е 173

Стъпка 9. Продължете да изчислявате цифри

Пуснете чифт нули отляво и повторете стъпки 4, 5 и 6. За допълнителна точност продължете да повтаряте този процес, за да намерите стотните, хилядните и т.н. места във вашия отговор. Продължете през този цикъл, докато намерите отговора си до желаната десетична запетая.

Разбиране на процеса

Стъпка 1. Разгледайте числото, от което изчислявате квадратния корен, като площ S на квадрат

Тъй като площта на квадрат е L² където L е дължината на една от неговите страни, следователно, опитвайки се да намерите квадратния корен на вашето число, вие се опитвате да изчислите дължината L на страната на този квадрат.

Стъпка 2. Посочете буквени променливи за всяка цифра от отговора си

Присвойте променливата А като първа цифра на L (корен квадратен, който се опитваме да изчислим). В ще бъде втората му цифра, В - третата и т.н.

Стъпка 3. Посочете буквени променливи за всяко "парче" от началния си номер

Задайте променливата S_адо първата двойка цифри в S (вашата начална стойност), S_б втората двойка цифри и т.н.

Стъпка 4. Разберете връзката на този метод с дългото разделяне

Този метод за намиране на квадратен корен е по същество проблем с дълго деление, който разделя началното ви число на квадратен корен, като по този начин дава квадратния му корен като отговор. Точно както при проблем с дълго деление, в който се интересувате само от следващата една цифра наведнъж, тук, вие се интересувате от следващите две цифри наведнъж (които съответстват на следващата цифра наведнъж за квадратния корен)).

Стъпка 5. Намерете най -голямото число, чийто квадрат е по -малък или равен на S_а.

Първата цифра А в нашия отговор е най -голямото цяло число, когато квадратът не надвишава S_а (което означава A, така че A² ≤ Sa <(A+1) ²). В нашия пример S_а = 7 и 2² ≤ 7 <3², така че A = 2.

Имайте предвид, че например, ако искате да разделите 88962 на 7 чрез дълго деление, първата стъпка ще бъде подобна: ще гледате първата цифра от 88962 (8) и ще искате най -голямата цифра, която, умножена по 7, е по -ниско или равно на 8. По същество вие намирате d така, че 7 × d ≤ 8 <7 × (d+1). В този случай d ще бъде равно на 1

Стъпка 6. Визуализирайте квадрата, чиято площ започвате да решавате

Вашият отговор, квадратният корен на вашето начално число, е L, който описва дължината на квадрат с площ S (вашето начално число). Вашите стойности за A, B, C представляват цифрите в стойността L. Друг начин да се каже това е, че за двуцифрен отговор 10A + B = L, докато за трицифрен отговор 100A + 10B + C = L и т.н.

• В нашия пример, (10A+B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Не забравяйте, че 10A+B представлява нашия отговор L с B в позиция на единици и A в позиция на десетки. Например, с A = 1 и B = 2, 10A+B е просто числото 12. (10A+B) ² е площта на целия квадрат, докато 100А² площта на най -големия квадрат вътре, B² е площта на най -малкия квадрат и 10A × B е площта на всеки от двата останали правоъгълника. Изпълнявайки този дълъг, сложен процес, ние намираме площта на целия квадрат, като добавяме площите на квадратите и правоъгълниците вътре в него.

Стъпка 7. Извадете A² от S_а.

Пуснете една двойка (S_б) на цифри от S. S_а С_б е почти общата площ на квадрата, от която току -що извадихте площта на по -големия вътрешен квадрат. Остатъкът може да бъде числото N1, което получихме в стъпка 4 (N1 = 380 в нашия пример). N1 е равно на 2 × 10A × B + B² (площ на двата правоъгълника плюс площ на малкия квадрат).

Стъпка 8. Потърсете N1 = 2 × 10A × B + B², също написано като N1 = (2 × 10A + B) × B

В нашия пример вече знаете N1 (380) и A (2), така че трябва да намерите B. B най -вероятно няма да бъде цяло число, така че всъщност трябва да намерите най -голямото цяло B, така че (2 × 10A + B) × B ≤ N1. И така, имате: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

Стъпка 9. Решете

За да решите това уравнение, умножете A по 2, преместете го в позицията на десетките (което е еквивалентно на умножаване по 10), поставете B в позицията на единиците и умножете полученото число по B. С други думи, решете (2 × 10A + B) × B. Точно това правите, когато пишете „N_ × _ =“(с N = 2 × A) в долния десен квадрант в стъпка 4. В стъпка 5 намирате най -големия цяло число B, което се вписва в долната черта, така че (2 × 10A + B) × B ≤ N1.

Стъпка 10. Извадете площта (2 × 10A + B) × B от общата площ

Това ви дава площта S- (10A+B) ², която все още не е отчетена (и която ще бъде използвана за изчисляване на следващите цифри по подобен начин).

Стъпка 11. За да изчислите следващата цифра C, повторете процеса

Пуснете следващата двойка (S_{° С}) от S, за да получите N2 вляво, и потърсете най-големия C, така че да имате (2 × 10 × (10A+B)+C) × C ≤ N2 (еквивалентно на изписването на двукратно двуцифрено число „AB“) последвано от "_ × _ =". Потърсете най -голямата цифра, която се побира в празните места, която дава отговор, който е по -малък или равен на N2, както преди.

Видео - С помощта на тази услуга може да се сподели част от информацията с YouTube

Съвети

• В примера 1.73 може да се счита за "остатък": 780.14 = 27.9² + 1.73.
• Този метод работи за всяка база, а не само в база 10 (десетична).
• Преместването на десетичната запетая с увеличение от две цифри в число (коефициент 100), премества десетичната запетая чрез стъпки от една цифра в квадратния й корен (коефициент 10).
• Чувствайте се свободни да представите смятането така или иначе, което ви е по -удобно. Някои хора записват резултата над началния номер.
• Алтернативен метод, използващ продължителни дроби, може да следва тази формула: √z = √ (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, за да се изчисли квадратният корен от 780.14, цяло число, чийто квадрат е най-близо до 780.14, е 28, така че z = 780.14, x = 28 и y = -3.86. Включването и пренасянето на оценката само до x + y/(2x) вече дава (в най -ниските стойности) 78207/2800 или около 27.931 (1); следващият термин, 4374188/156607 или около 27.930986 (5). Всеки термин добавя близо 3 десетични знака прецизност към предишния.

Предупреждения

• Не забравяйте да разделите цифрите на двойки от десетичната запетая. Разделяйки 79, 520, 789, 182.47897 като „79 52 07 89 18 2.4 78 97 "ще даде безполезен номер.

Калкулатор

Калкулатор на квадратни корени